Da für diesen Aspekt die Höhe des Schwerpunktes nicht bedeutend ist und die Tiefe des Schwerpunktes sich nicht verändert, wird nur die waagrechte Komponente des Schwerpunktes berechnet. Daher vereinfachen wir unseren Stein in ein Rechteck (Seitenansicht).

Die Schwerpunktberechnung erfolgt iterativ, d.h. zuerst für den obersten Stein und dann von oben beginnend wird ein Stein nach dem anderem hinzugenommen.

Für den ersten Stein gilt:

Der Schwerpunkt eines Rechtecks ist zugleich der Schnittpunkt der Diagonalen.
Also kurz: Mitte des Rechteckes entspricht dem Schwerpunkt des Rechteckes.

Für den jeden weiteren Stein kann man den Schwerpunkt aus dem Schwerpunkt des weiteren Steines sowie dem bereits berechnetem Schwerpunkt des Turmes oberhalb mithilfe folgender Formel berechnen.

Legende für Symbole:

Symbol	Bedeutung
$A_{i}$	Fläche des Turmes oberhalb mit i Steinen.
$A$	Fläche des neuen Steines
$x_{Si}$	Waagrechte Postion des Schwerpunktes des Turmes mit i Steinen
$x_{Sneu}$	Waagrechte Postion des Schwerpunktes des neuen Steines

\[x_{Sneu}=\frac{x_{S_{neu}}\cdot A + x_{Si}\cdot A_{1}}{A+A_{i}} \]

Die Fläche eines Steines hat bei uns die Fläche 1. Das ergibt sich daraus, dass ein Stein 2 breit und 0,5 hoch ist.

Den ersten Stein positioniert man auf den Ursprung $x=0$ .

Da der Stein 2 Einheiten breit ist, (2 Kästchen entsprechen 1 Einheit) befindet sich der Schwerpunkt bei $x = 1$; Die beste Position, um eine möglichst große Distanz zu überbrücken, ohne dass der Turm umfällt, ergibt sich daraus, dass sich die Kante des nächsten Steines genau unter dem Schwerpunkt dieses Steines befindet. Der nächste Schritt ist das Setzen des neuen Steines. Für diesen gilt: die $x$-Position der linken Kante des neuen Steines liegt bei $x = 1$; Der Schwerpunkt des neuen Steines liegt dann bei $x_{Sneu}=2$. Daraus ergibt sich für den gesamten Schwerpunkt des Turmes unter Anwendung der Formel für den Schwerpunkt zweier Flächen:

\[x_{S1}=1, A_{1}=1, x_{Sneu}=2, A=1 \]

Eingesetzt in die Formel für den Schwerpunkt ergibt sich somit:

\[x_{Sges}=\frac{2 \cdot 1+1 \cdot 1}{1+1}=\frac{3}{2}=1,5=1+\frac{1}{2} \]

Für den dritten Stein gilt wieder, die ideale Position ergibt sich, wenn man den neuen Stein so positioniert, dass die Kante des neuen Steines genau unter dem Schwerpunkt des bisherigen Turmes liegt. Da dieser, wie gerade berechnet, bei $x = 1,5 $ liegt, wird die linke Kante des dritten Steines bei $x = 1,5$ positioniert.

Der Schwerpunkt des dritten Steines ohne den restlichen Turm liegt also bei:
\[ x_{Sneu}=1,5+1=2,5 \]

Fläche des bisherigen Turmes: $A_2=2$

Fläche des neuen Steines: $A = 1$

Eingesetzt in die Formel ergibt sich:

\[x_{Sges}=\frac{2,5 \cdot 1+1,5\cdot 2}{1+2}=\frac{5,5}{3}=\frac{11}{6}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}. \]

Für den vierten Stein gilt wieder, die ideale Position ergibt sich, wenn man den neuen Stein so positioniert, dass die Kante des neuen Steines genau unter dem Schwerpunkt des bisherigen Turmes liegt.
Da dieser bei x = ¹¹⁄₆ liegt, wird die linke Kante des dritten Steines bei x = ¹¹⁄₆ positioniert.

Der Schwerpunkt des vierten Steines liegt also bei:

\[ x_{Sneu}=\frac{11}{6}+1=\frac{17}{6}. \]

Schwerpunkt des bisherigen Turmes: $x_{S3}=\frac{11}{6}$,

Fläche des bisherigen Turmes: $A_{2}=3$,

Fläche des neuen Steines: $A_1$.

Eingesetzt in die Formel für den Schwerpunkt ergibt sich somit:

\[ x_{Sges}=\frac{\frac{17}{6}\cdot 1+\frac{11}{6}\cdot 3}{1+3}=\frac{\frac{17+33}{6}}{4}=\frac{25}{12}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}. \]

Wohin muss ich den nächsten Stein legen?

Genau. Die linke Kante des nächsten Steines muss sich wieder unter dem Schwerpunkt befinden also bei:

\[ x= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}. \]

Was sagt deine Intuition, wo liegt der Schwerpunkt des nächsten Steines?

Richtig ist:

\[ x_{S5}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}. \]

Dies kann man für die restlichen Steine wiederholen. Für 10 Steine ergibt sich somit der Schwerpunkt:

\[ x_{S10}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}. \]

Hätte man jetzt unendlich viele Steine, ergibt sich folgender maximaler Überhang:

\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots \]

Oder in Schreibweise mit der Summenzeichen:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} \]

Die Summenzeichen ist eine abkürzende Schreibweise der Addition. Dazu wird eine Laufvariable festgelegt. Dieser wird unter dem Summenzeichen ein Startwert zugeordnet. Der Endwert der Laufvariable wird über dem Summenzeichen festgelegt. Für jeden Wert der Laufvariable wird nun der Term rechts neben dem Summenzeichen bestimmt und alle diese Terme werden aufaddiert.

Beispiel 1: \[\sum_{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5 \]

Beispiel 2: \[\sum_{i=1}^{3}2\cdot i=2\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3=12 \]

Beispiel 3: \[\sum_{i=1}^{\infty}i=1+2+3+4+5+6+7+\dots \]

Zu beachten gilt, dass der Endwert auch unendlich sein darf und somit unendlich viele Terme aufsummiert werden.

Beispiel 4: \[\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots \]

Folgen

Eine Folge ist anschaulich dargestellt nichts anderes als eine Zuordnung eines Wertes an einen Index $i$. Dabei kann man jedem Glied der Folge speziell einen Wert zuweisen, z.B.:

\[a_1=1, a_2=3, a_3=4, a_5=3,\dots\]

Oder aber man kann eine Formel für die Berechnung des Wertes des Folgengliedes angeben, z.B.:

\[x_i=\frac{1}{i}. \]

Oder:

\[b_i=z^i. \]

Reihen

Eine Reihe ist eine Summe über alle unendlich vielen Glieder einer Folge.

Also für die Folge

\[x_1=\frac{1}{i} \]

ist die zugehörige Reihe

\[\sum_{i=0}^{\infty} x_i= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}=?.\]

Diese Reihe wird harmonische Reihe genannt.

Was ergibt sich, wenn ich die harmonische Reihe berechnen möchte?

Betrachten wir die ersten Glieder dieser Reihe:

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\dots \]

Das erste Glied ist $1$, das zweite $\frac{1}{2}$. Das dritte und vierte Glied zusammen sind größer als $\frac{1}{2}$, da $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$ und $2\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Betrachte nun die nächsten doppelt so vielen Elemente, also die 4 Elemente $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$ es gilt $\frac{1}{5}>\frac{1}{8}, \frac{1}{6}>\frac{1}{8}, \frac{1}{7}>\frac{1}{8}$ und somit auch $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$ > $4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$. Wenn man sich nun die nächsten $8 =2\cdot 4$ Elemente ansieht, wird man feststellen, dass diese wiederum addiert, mehr als $\frac{1}{2}$ ergeben. Dies lässt sich unendlich oft wiederholen, wobei man die Anzahl der zu betrachten Elemente in jedem Schritt verdoppeln muss. Also gilt für: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i} = 1+(\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\dots\\ >1+(\frac{1}{2})+ (\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})+\dots =\infty \]

Die harmonische Reihe geht gegen unendlich . Man sagt auch, die Reihe konvergiert nicht.

Dabei gilt zu beachten, dass nicht jede Reihe $\infty$ ergeben muss.

So gilt z.B. für die geometrische Reihe

\[ \sum_{i=0}^{\infty} b_i = \sum_{i=1}^{\infty} z^i \]

Mit $z=\frac{1}{2}$: \[\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} b_i =\sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{2})^i = 2 \]

Dann spricht man davon, dass die Reihe konvergiert.

Haben wir unendlich viele Steine zur Verfügung, können wir einen unendlich großen Überhang bauen. Dabei gilt aber zu beachten, dass dieser Turm dann auch unendlich hoch wird. Denn um weitere $\frac{1}{2} $ Einheiten = 1 Kästchen zu überbrücken, benötigt man immer mehr Steine. Beispiel: Der Turm ist bereits 5 hoch. Dann überbrückt er bereits mehr als 4 Kästchen. Um ein weiteres Kästchen zu überbrücken, benötige ich weitere 3 Steine. Um jetzt nochmal ein weiteres Kästchen zu überbrücken benötige ich 5 Steine. Für das nächste Kästchen 9 weitere Steine. Und für jedes Kästchen immer mehr Steine.

Außerdem werden die neu hinzuzufügenden Abstände so klein, dass es praktisch sehr schwer ist den nächsten Stein richtig zu positionieren. Außerdem würde durch die exakte Positionierung unter dem Schwerpunkt der Turm in realer Umgebung bei dem kleinsten Windhauch umfallen.

Im folgenden Bild sich nochmal die Abstände zweier übereinanderliegender Steine dargestellt.